维纳-霍普夫方程

编辑:山冈网互动百科 时间:2019-11-12 14:48:52
编辑 锁定
本词条缺少信息栏名片图,补充相关内容使词条更完整,还能快速升级,赶紧来编辑吧!
它早期的著名例子是辐射传输理论中的米尔恩方程,后来因1931年N.维纳和E.霍普夫给出其求解方法而得名。20世纪40年代以后,这一方程的理论在解析函数边值问题、调和分析和算子理论的基础上得到了系统的发展,其应用也从辐射问题扩展到许多其他领域.维纳-霍普夫方法 又称因子分解法,是N.维纳和E.霍普夫为求解方程.而提出的,已成为研究各种数学物理问题的一种常用方法。其基本思想是通过积分变换将原方程化为一个泛函方程,然后再用函数因子分解的方法来求解。

维纳-霍普夫方程主要内容

编辑
一类给定在半无穷区间上的带差核的奇异积分方程,其一般形式为
(1)
式中为常数;()(-∞<<+∞)和()(0≤<+∞)为已知函数;()(0<<+∞)为未知函数。
  方程(1)的研究开始于20世纪20年代初,它早期的著名例子是辐射传输理论中的米尔恩方程,后来因1931年N.维纳和E.霍普夫给出其求解方法而得名。20世纪40年代以后,这一方程的理论在解析函数边值问题、调和分析和算子理论的基础上得到了系统的发展,其应用也从辐射问题扩展到许多其他领域,例如中子迁移、电磁波衍射、控制论、多体问题以及人口理论等。
  维纳-霍普夫方法 又称因子分解法,是N.维纳和E.霍普夫为求解方程(1)而提出的,已成为研究各种数学物理问题的一种常用方法。其基本思想是通过积分变换将原方程化为一个泛函方程,然后再用函数因子分解的方法来求解。下面以方程(1)的求解为例来加以说明。 在<0处,令()=()=0,首先将方程(1)开拓到整个实轴,即
  
维纳-霍普夫方程 维纳-霍普夫方程
式中
  
维纳-霍普夫方程 维纳-霍普夫方程
若(2)中诸函数满足适当的条件,例如,存在>0使得()e,()e和()e属于(-∞,+∞),则借助于傅里叶变换由(2)可得
  
维纳-霍普夫方程 维纳-霍普夫方程
这里和下文大写字母均表示相应函数的傅里叶变换,而大写字母的下标+和-则分别表示该函数在半平面τ>-和τ<内解析。在许多情况下,对(3)可求出解的表达式。求解的关键在于将()=-()因子分解。一个常用的分解定理是,设()在||<内解析、无零点且一致地有
维纳-霍普夫方程 维纳-霍普夫方程
则存在分解
  
维纳-霍普夫方程 维纳-霍普夫方程
式中()和()可由()求出,它们在相应半平面内无零点。由于在所述条件下,()/()在|τ|<内解析,
维纳-霍普夫方程 维纳-霍普夫方程
由柯西积分公式知,
  
维纳-霍普夫方程 维纳-霍普夫方程
这里()和()可用
维纳-霍普夫方程 维纳-霍普夫方程
来表示,因而由(3)得到由此利用解析开拓和广义刘维尔定理求出φ()和()(准确到相差一个整函数),然后再对φ()进行傅里叶逆变换即可求得方程(1)的解()。
  当仅假定()∈(-∞,+∞)和-()≠0(-∞≤≤+∞)时,-()也有类似分解,这时需要用到调和分析理论中的维纳-莱维定理。由此应用巴拿赫空间中的算子理论,还可在一般函数空间,例如
  有界可测函数空间和有界连续函数空间中对方程 (1)进行求解。

维纳-霍普夫方程主要结果

编辑
用记上述函数空间。方程(1)的一个重要特点是其中积分仅是相应函数空间中的有界算子,而不是全连续算子,因此它和弗雷德霍姆积分方程在性质上有着本质的不同。这主要表现在:①齐次方程(1)和它的共轭方程线性无关解的个数一般不相等,它们的差等于
  整数()称为方程(1)的指标;②方程(1)的谱点一般为连续统,其中复平面闭曲线=()(-∞≤≤+∞)上的点为本质谱,亦即对于全连续算子微扰不变的谱,而使得()>0的点为方程(1)的点谱。
  函数-()称为方程(1)的符号。当符号无零点时,方程(1)称为正常的,否则称为例外的。对于正常方程,已经有了较系统的结果,其中主要有:① 设()∈(-∞,+∞),则方程(1)在中满足诺特定理(见奇异积分方程)的充分必要条件为-()≠0(-∞≤≤+∞),故正常方程有时也称为诺特型方程;②当()>0时,齐次方程(1)在中有()个线性无关解,()≤0时无非零解;③当()>0时,非齐次方程(1)在中有()个线性无关解,()=0时,有惟一解,()<0时,无解或有惟一解,有解的充分必要条件是其右端满足条件
  
维纳-霍普夫方程 维纳-霍普夫方程
式中()是方程(1)的共轭方程
  
维纳-霍普夫方程 维纳-霍普夫方程
的线性无关解。至于例外方程,也有不少结果,但尚无系统理论。
  以上结果在作相应修改后,对于对偶积分方程、方程 (1)的离散形式特普利茨方程以及有关方程组也都同样成立。
词条图册 更多图册
词条标签:
科技